摘录一些数学题，不定期更新。

浮躁的时候思考一下，看看是会冷静下来，还是会更浮躁……

1 . 想一下 200 的正约数 1、2、4、……、100、200，然后回答下列问题。

  • 约数之和 S，请对 S 进行质因数分解。
  • 约数平方和 T，请对 T 进行质因数分解。
  • 约数的倒数和 U，请求出 U。
  • 约数的倒数平方和 V，请求出 V。

[拉·萨尔高中]

2 . 利用 2 种水泵 A、B 给水箱 T 供水。水箱 T 装满水所需的时间以及操作水泵所耗费用如下。使用 1 台 A 和 2 台 B 时，所需时间是 36 小时，费用是 1260 日元；使用 3 台 A 和 4 台 B 时，所需时间是 15 小时，费用是 1275 日元。请求出（ 　 ）中的数。

  • 使用 1 台 A 供水 12 小时，如果换成 1 台 B，供水量与 A 持平，需要（ 　 ）小时。
  • 使用若干台 A 将 T 装满，需要的费用是（ 　 ）日元。
  • 使用（ 　 ）台 A 和（ 　 ）台 B 将 T 装满所需的时间和费用分别是 8 小时和 1280 日元。

[筑波大学附属高中]

3 . 平面上放置了一个正四面体。在正四面体和平面接触的那一面的三条边上任意选择一条边，然后以此边为轴，将正四面体推倒。在推倒 n 次之后，最初和平面接触的那一面再一次和平面接触的概率是多少？

4 . 证明圆周率大于3.05。

[东京大学]